Ukończył I Liceum Ogólnokształcące im. Mikołaja Kopernika w Krośnie. Jest absolwentem wydziału aktorskiego Państwowej Wyższej Szkoły Filmowej, Telewizyjnej i Teatralnej im. Leona Schillera w Łodzi. Po studiach został zaangażowany do Teatru Powszechnego w Łodzi, potem do Teatru Nowego w Warszawie.
Został laureatem I Nagrody Przeglądu Piosenki Aktorskiej we Wrocławiu. Grono oddanych fanów zapewniły mu piosenka Mówili na Nią Słońce pochodząca z pierwszej solowej płyty oraz własne kompozycje z płyty "Wniebowzięty". Wieloletnie doświadczenie na scenie i estradzie pozwoliło Robertowi Rozmusowi połączyć dwie pasje – aktorstwo i śpiew. Występował w musicalach: Chicago, Kwiaty we włosach, Miss Saigon, Pięciu braci Moe). Jego kreacja Profesora Abronsiusa w Tańcu wampirów Romana Polańskiego, spotkała się z uznaniem krytyki i publiczności (Platynowa płyta). Entuzjastyczne recenzje zebrał za tytułową rolę w musicalu Akademia Pana Kleksa (Złota płyta). Szerokiej publiczności dał się poznać jako Pan Rozi z Kabaretu Olgi Lipińskiej oraz członek grupy "Tercet czyli Kwartet", którą tworzy z Hanną Śleszyńską, Piotrem Gąsowskim i Wojtkiem Kaletą. Sukcesem okazał się jego autorski program Robert Rozmus Show emitowany w TVP. Był gospodarzem popularnych telewizyjnych show: "Dziewięciu wspaniałych", "Rodzina jak z nut". Grał w serialach telewizyjnych, m.in.: Na dobre i na złe, Niania, Bulionerzy, Magda M., Ojciec Mateusz, Świat według kiepskich. Brał udział w programach telewizyjnych Zbigniewa Górnego i Krzysztofa Jaślara: Gala Biesiadna, Poprawiny, Biesiada bez granic, a także show: Taniec z gwiazdami oraz Gwiazdy tańczą na lodzie. Udziela się także w dubbingu.
Rozmus jest wielokrotnym Mistrzem Polski Aktorów w tenisie. Jego obecną pasją jest golf, w którym odnosi liczne sukcesy na krajowych i międzynarodowych turniejach.
Obecnie artysta gra na deskach Teatru Bajka w sztuce Dzikie Żądze, w reżyserii Zenona Dondajewskiego i Stefana Friedmana oraz w Teatru Komedia w sztuce 39 stopni (na podstawie filmu Alfreda Hitchcocka), w reżyserii Tomasza Dutkiewicza. W grudniu 2009 premierę będzie mieć jego kolejny show - Przypadki Roberta R. w Teatrze Capitol. .